Jawaban Ujian Ekonometrika Lanjutan 2013 - 2A

"Ini jawaban versi saya, belum tentu benar.

     Untuk menghasilkan estimasi yang BLUE (best linear unbiased estimator), maka asumsi-asumsi melandasi parameternya harus dipenuhi. Salah satu asumsi yang harus dipenuhi adalah mengenai variabel independen yang fixed atau nilai X independen terhadap nilai gangguan u. 

       Nilai X yang fixed pada sampling berulang merupakan konsekuensi dari konsep regresi yang mengandalkan pada nilai rata-rata kondisional atau conditional mean (E(Y|X). Garis regresi pada dasarnya merupakan gabungan dari nilai rata-rata variabel acak Y pada nilai X yang fixed. Secara intuitif, alasan mengapa nilai X seharusnya fixed pada sampling berulang adalah sebagai berikut.

       Kita mengetahui bahwa nilai parameter OLS menyatakan bahwa bervariasinya nilai Y pada setiap nilai X adalah akibat adanya gangguan u. Sehingga, ketika nilai gangguan u berubah, hal tersebut akan mengubah juga nilai Y. Maka, parameter regresi tidak semestinya menjelaskan perubahan Y tersebut akibat X, karena perubahan disebabkan gangguan u. Namun karena kita tidak mengetahui nilai u (hanya distribusi probabilitasnya saja), ketika X tidak mengikuti nilai fixed, atau stokastik dengan distribusi probabilitas tertentu, maka peningkatan u dapat saja juga diikuti peningkatan X.. Hal tersebut tidak akan terjadi selama cov(X_i,u_i)=0. Maka, parameter regresi akan menjelaskan perubahan nilai Y disebabkan variasi pada nilai u, sekaligus nilai X jika gangguan u dan nilai X tidak independen. Sehingga, kita dapat menetapkan nilai X berapa saja tanpa memengaruhi properti dari gangguan u.

       Dalam ilmu semacam ekonomika, sulit untuk melakukan eksperimen yang bisa membuat nilai X tersebut fixed, kemudian untuk mencari beberapa nilai Y pada satu X. Misalnya untuk melihat pengaruh investasi terhadap peningkatan output. Bukankah data investasi bukan fixed pada sampling berulang, namun sebuah variabel acak? Hal tersebut banyak berlaku pada ilmu ekonomi yang data-datanya merupakan hasil observasi, berbeda dengan data eksperimen yang mana nilai X dapat dikontrol. Seperti yang telah disebutkan bahwa variabel X boleh saja tidak fixed pada repeated sampling (jadi ia stokastik berdasarkan distribusi probabilitas tertentu) asalkan ia memenuhi asumsi bahwa ia independen terhadap nilai gangguan u, sehingga muncul asumsi bahwa  cov(X_i,u_i)=0. 

       Secara matematis, nilai variabel X yang independen terhadap gangguan u dapat dijelaskan pada sebagai berikut. Parameter BLUE jika nilai parameter estimasi sama dengan parameter population regression function-nya (PRF)

Dengan menuliskan kembali persamaan parameternya

Persamaan regresi dituliskan kembali dan disubtitusikan pada persamaan

Maka diperoleh

Berdasarkan persamaan tersebut, untuk memperoleh nilai parameter yang tidak bias maka, nilai X haruslah non-stokastik. Nilai X yang non-stokastik akan berimplikasi pada nilai harapan pada bagian kedua persamaan di sebelah kanan sama dengan nol, sehingga nilai parameter tidak bias.  Namun, jika X adalah suatu variabel acak yang nilainya berdasarkan distribusi probabilitas tertentu, maka ada kemungkinan bahwa nilai X dan gangguan u tidak independen, sehingga nilai harapan dari X dan u tidak sama dengan nol.

Kasus pada model simultan yang mana nilai salah satu variabel independen yang pada persamaan lain merupakan variabel endogen, maka variabel indepeden tersebut memiliki sifat variabel endogen, yaitu stokastik. Sifat variabel endogen yang melekat pada dirinya, menyebabkan masalah ketika ia berada di barisan variabel independen karena ada kemungkinan cov(X_i,u_i)≠0.

 
Update: persamaan-persamaan pertama saya dengan menggunakan LaTeX hehe, yang penasaran bisa cek link ini